Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
Pascal, lengkapnya Blaise Pascal (1632-1662) adalah seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis. Beliau menyusun pola yang unik membentuk segitiga, yang diberi nama pola bilangan segitiga Pascal. Pola bilangannya sebagai berikut :
Apa saja
keunikan-keunikan yang terkandung dalam Pola bilangan segitiga Pascal ?
Mari kita lihat satu persatu :
Keunikan pertama adalah "Jumlah bilangan pada setiap barisnya"
Perhatikan jumlah dari bilangan dalam setiap barisnya.
Ternyata, Jumlah dari bilangan dalam setiap baris pada segitiga Pascal bembentuk
barisan bilangan Geometri, yaitu : 1, 2,
4, 8, 16, 32, ... dengan pola bilangannya adalah :
Keunikan kedua adalah "Pola bilangan pada setiap diagonalnya"
Perhatikan bilangan-bilangan pada diagonal-diagonal segitiga Pascal ;
Diagonal ke-1 : 1, 1, 1, 1, 1, 1,...
Diagonal ke-2 : 1, 2. 3. 4. 5. 6,...
Diagonal ke-3 : 1, 3, 6, 10, 15, 21,...
Diagonal ke-4 : 1, 4, 10, 20, 35, 56, ...
Diagonal ke-5 : 1, 5, 15, 35, 70, 126,...
Ternyata, bilangan pada
setiap suku ke-n pada diagonal berikutnya merupakan jumlah sebanyak n suku pada diagonal sebelumnya.
Contoh : 5 pada suku ke-2 diagonal ke-5 adalah hasil dari 1+4 dari diagonal ke-4, dan seterusnya.
Dapat dimanfaatkan untuk apa saja pola bilangan segitiga Pascal tersebut ?
Manfaat pola bilangan segitiga Pascal dapat digunakan untuk :
- Dapat digunakan untuk menentukan Koefisien suku-suku pada pemangkatan suku dua. jika pangkat dari perpangkatan suku dua adalah n, maka untuk nilai koefisiennya dari tiap suku hasil perpangkatanya kita ambil dari baris ke n + 1.
- Dapat digunakan untuk menentukan banyaknya kemungkinan (banyak titik sampel) dari percobaan/pengetosan mata uang logam. Contoh : a) Banyak kemungkinan jika sebuah mata uang logam di tos satu kali adalah 2, yaitu kemungkinan muka gambar (G) atau muka angka (A). Hal ini sesuai dengan jumlah setiap bilangan pada baris ke dua segitiga Pascal b) Banyak kemungkinan jika dua keping mata uang di tos sekaligus adalah 4, yaitu : Dua-duanya angka (AA), satu angka satu gambar (AG), satu gambar satu angka (GA), dan dua-duanya gambar (GG). Hal ini sesuai dengan jumlah setiap bilangan pada baris ketiga, yakni; 1, 2, 1. Angka 1 pertama menunjukkan yang muncul 2 angka dan 0 gambar, hanya 1 yaitu AA. Angka 2 kedua menunjukkan yang muncul 1 angka dan 1 gambar, ada 2 yaitu AG dan GA. Angka 1 ketiga menunjukkan yang muncul 0 angka dan 2 gambar, hanya 1, yaitu GG.
- Dapat digunakan untuk menentukan nilai kemungkinan (peluang) suatu kejadian dari pengetosan mata uang logam.
Perlu diingat kembali dalam teori peluang, bahwa nilai peluang dari suatu kejadian, diperoleh dengan membandingkan banyaknya yang diteliti muncul dengan banyaknya kemungkinan yang terjadi.
Contoh.
Dari pengetosan dua keping mata uang logam, tentukan nilai peluang yang muncul:
- Dua-duanya angka.
Jawaban :
Yang diteliti adalah dua-duanya angka, ternyata ada 1 yakni (AA)
Banyaknya kemungkinan dari pengetosan dua keping mata uang logam ada 4.
Maka nilai P(dua-duanya angka) = 1/4
- Dua-duanya gambar
Yang diteliti adalah dua-duanya angka, ternyata ada 1 yakni (GG)
Banyaknya kemungkinan dari pengetosan dua keping mata uang logam ada 4.
Maka nilai P(dua-duanya gambar) = 1/4
- Angka atau gambar
Yang diteliti adalah satu angka satu gambar, ternyata ada 2 yakni (AG) dan (GA)
Banyaknya kemungkinan dari pengetosan dua keping mata uang logam ada 4.
Maka nilai P(satu angka atau satu gambar) = 2/4 = 1/2
Ingat nilai peluang harus dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.
Contoh :
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan A, jika :
a) n(A)= 0
b) n(A)= 1
c) n(A)= 3
Jawaban :
a) jika n(A) = 0, maka banyak himpunan bagian dari A ada 1, yaitu himpunan kosong { }
b) Jika n(A) = 1, maka banyaknya himpunan bagian dari A ada 2, yaitu { }, dan himpunan itu sendiri. Jika n(A) = 3, maka banyaknya himpunan bagian dari A ada 8, yaitu 1 himpunan kosong, 3 himpunan yang beranggotakan 1 buah, kemudian 3 himpunan yang beranggotakan 2 buah, dan 1 himpunan yang beranggotakan 3 buah. Hal ini sesuai dengan jumlah bilangan-bilangan pada baris ke-3 segitiga Pascal, yaitu 1 + 3 + 3 + 1 = 8.
Demikian posingan kali ini semoga bermanfaat.
EmoticonEmoticon